（初升高）高一数学衔接班第8讲——与平面几何有关的定理与性质

(初升高)高一数学衔接班第8讲——与平面几何有关的定理与性质

　　一、学习目标:

　　1、了解三角形中的相关定理:如平行线分线段成比例定理、三角形内角与外角平分线性质定理、直角三角形射影定理,并能用它们处理一些简单的数学问题

　　2、了解与圆有关的定理,如垂径定理、相交弦定理、切割线定理,同时掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的判定方法

　　二、学习重点:熟悉与三角形及圆有关的常用定理,为进一步学习做准备

　　三、新课讲解:

　　知识点一:与比例线段有关的定理平行线分线段成比例定理在解决几何问题时,我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题。在数学学习与研究中,我们发现平行线常能产生一些重要的长度比。在一张方格纸上,我们作平行线1 2 3,,l l l(如图),直线a交1 2 3,,l l l于点,,A B C,2,3AB BC??,另作直线b交1 2 3,,l l l于点',','A B C,不难发现''2''3A B ABB C BC??。我们将这个结论一般化,归纳出平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。

　　例1、如图,1 2 3////l l l,且2,3,4,AB BC DF===求,DE EF的长度。思路导航:利用平行线分线段成比例定理和比例的性质可求解:1 2 32,,3AB DEl l lBC EF??∥∥2 8 3 12,2 3 5 2 3 5DE DF EF DF??。点津:平行线分线段成比例定理往往要与比例的性质相结合

　　例2、如图,在ABC?中,若DE∥AB∥FG,且FG到DE、AB的距离之比为1:2,若ABC?的面积为32,CDE?的面积为2,则CFG?的面积S等于__________思路导航:由DE∥AB∥FG知,这三个三角形相似,要求CFG?的面积S只需求出它们的相似比解:?DE∥AB∥FG?CDE?∽CFG?∽ABCCDCA=2 1,32 4CDECABSS??1 3,4 4CD AC AD AC??又FG到DE、AB的距离之比为1:2,?12FDFA1 1 1 3 1,3 3 3 4 4FDFD AD AC ACAD??2 21 1 1,,2 2 4CDECFGSCD CDFD DCCF S CF???△△?CFG?的面积S等于8点津:相似三角形面积比等于对应边之比的平方

　　知识点二:三角形内角与外角平分线性质定理

　　1、三角形内角平分线性质定理——三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。

　　例3、如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,点D在线段BC上,求证:AB BDAC DC=。思路导航:考虑作AD的平行线,从而运用平行线分线段成比例定理证明:过C作CE∥AD,交BA延长线于E,,BA BDAD CEAE DC?∥。又AD平分,,BAC BAD DAC?由//AD CE知,,BAD E DAC ACE??,E ACE AE AC?即AB BDAC DC??。点津:利用平行线分线段成比例定理,可以将一条直线上的比例线段“移”到另一条直线上,这是解决有关比例线段问题的常用方法

　　2、三角形外角平分线性质定理——三角形的外角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例

　　知识点三:直角三角形射影定理

　　例4、如图,在直角三角形ABC中,∠BAC为直角,AD⊥BC于D。求证:(1)2AB BD BC??,2AC CD CB??;(2)2AD BD CD??证明:(1)在Rt△BAC与Rt△BDA中,B B?,BAC?△∽△BDA,2,BA BCAB BD BCBD BA??即。同理可证得2AC CD CB??。(2)在Rt△ABD与Rt△CAD中,90oC CAD BAD??,Rt ABD?△∽Rt△CAD,2,AD DCAD BD DCBD AD??即。我们把这个例题的结论称为射影定理,该定理对直角三角形的运算很有用。

　　例5、在△ABC中,,,AD BC D DE AB E DF AC F?于于于,求证:AE AB AF AC?。证明:AD BC,?ADB△为直角三角形,又DE AB?,由射影定理,知2AD AE AB??。同理可得2AD AF AC??。AE AB AF AC??。

　　知识点四:与圆有关的定理垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,且平分弦所对的两条弧。垂径定理的实质可以理解为:一条直线,如果它具有两个性质:(1)经过圆心;(2)垂直于弦,那么这条直线就一定具有另外三个性质:(1)平分弦,(2)平分弦所对的劣弧,(3)平分弦所对的优弧(如图所示)。推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。如图,若AB∥CD,则?BDAC注意:在圆中,解有关弦的问题时,常常需要作“垂直于弦的‘直径’”作为辅助线。(如下图)

　　例6、已知△ABC内接于⊙O,且AB=AC,⊙O的半径等于6cm,O点到BC的距离为2cm,求AB的长。思路导航:因为不知道△ABC是锐角三角形还是钝角三角形(由已知分析,△ABC不会是直角三角形,因为若是直角三角形,则BC为斜边,圆心O在BC上,这与O点到BC的距离为2cm矛盾),因此圆心有可能在三角形内部,也有可能在三角形外部,所以需分两种情况进行讨论:(1)假若△ABC是锐角三角形,如图甲,由AB=AC,可知,,甲∴点A是弧BAC的中点,连结AO并延长且交BC于D,由垂径定理推论可得AD⊥BC,且BD=CD,这样OD=2cm,再连结OB,由在Rt△OBD中,OB=6cm,可求出BD的长,则AD长可求出,则在Rt△ABD中可求出AB的长。

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