（初升高）高一数学衔接班第5讲——不等式

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　　一、学习目标

　　1.掌握一元二次不等式的解法,如不等式组法、图象法

　　2.掌握简单分式不等式的解法

　　3.会解简单的含字母系数的不等式,会求有关字母取值或取值范围的问题

　　二、学习重点

　　一元二次不等式的解法

　　三、课程精讲

　　1.新知探秘问题:如何解不等式26 0x x?.思路导航:不等式左边可以因式分解,根据“符号法则---正正(负负)得正、正负得负”的原则,将其转化为一元一次不等式组.

　　解:方法一:原不等式可以化为:(3)(2)0x x?,于是:3 02 0xx?或3 02 0xx?3 33 22 2x xx xx x???或或所以,原不等式的解是3 2x x?或.

　　点津:当把一元二次不等式化为20(0)ax bx c??或的形式后,只要等式左边可以分解为两个一次因式,即可运用本题的解法。形如20(0)(0)ax bx c a?或其中的不等式称为关于x的一元二次不等式.

　　知识点一:一元二次不等式的解法——不等式组法

　　例1.解下列不等式:(1)(2)(3)6x x?(2)(1)(2)(2)(2 1)x x x x?思路导航:要先将不等式化为20(0)ax bx c??或的形式,通常使二次项系数为正数.

　　解:(1)原不等式可化为:212 0x x?,即(3)(4)0x x?于是:3 0 3 03 44 0 4 0x xxx x??????或所以原不等式的解是3 4x?.

　　(2)原不等式可化为:24 0?x x,即24 0(4)0?x x x x于是:0 00 44 0 4 0?????或x xxx x所以原不等式的解是4x0.点津:在将不等式化为20(0)ax bx c??或的形式时,通常把二次项系数化正,还要注意进行正确的分解因式

　　知识点二:一元二次不等式的解法——图象法问题:

　　对于如何解不等式26 0x x?,还有其他的解法吗?解:方法二:二次函数26y x x?(1)作出图象(如图所示);(2)根据图象容易看到,图象与x轴的交点是(3,0),(2,0)?,即当3 2或=x x时,0y?.就是说对应的一元二次方程26 0x x?的两个实数根是3 2或=x x.(3)当3 2x x?或时,0y?,对应图像位于x轴的上方.就是说26 0x x?的解是3 2x x?或.当3 2x?时,0y?,对应图像位于x轴的下方.就是说26 0x x?的解是3 2x?.

　　一般地,一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解,步骤如下:(1)求相应一元二次方程的根;(2)观察相应的二次函数的图象。①如果图象与x轴有两个交点1 2(,0),(,0)x x,此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根1 2,x x(也可由根的判别式0来判断)。②如果图象与x轴只有一个交点(,0)2ba?,此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根1 22?bx xa(也可由根的判别式0来判断).③如果图象与x轴没有交点,此时对应的一元二次方程没有实数根(也可由根的判别式0来判断)。

　　简单的说,求解一元二次不等式的步骤为:(1)求根(2)画图(3)写出解集例

　　2.解下列不等式:(1)22 8 0x x?(2)24 4 0x x?思路导航:按着图象法的解题步骤进行解:(1)不等式可化为(2)(4)0x x?∴一元二次方程的两根为-2、4∴由图象知,不等式的解是2 4x?(2)不等式可化为2(2)0x??∴由图象知不等式的解是2x?

　　仿练:22 0x x?解:不等式对应的一元二次方程22 0x x?无解由22y x x?的函数图像可知,原不等式无解点津:实际上,“一元二次方程”、“一元二次函数”“一元二次不等式”之间存在某种内在联系,简称为“三个二次的关系”;“三个二次的关系”完全可以统一到函数的图像中去,即一元二次方程的根是一元二次函数图像与x轴交点的横坐标,也是一元二次不等式解的端点值,当然,这部分内容到高中还会学习到。

　　知识点三:简单分式不等式的解法

　　例3.解下列不等式:(1)2 301xx?(2)2301xx x??思维导航:(1)类似于一元二次不等式的解法,运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组再进行处理;或者因为两个数(式)相除为异号,那么这两个数(式)相乘也为异号,可将分式不等式直接转化为整式不等式求解.(2)注意到经过配方后,分母实际上是一个正数解:(1)法一:原不等式可化为:3 32 3 0 2 3 0312 21 0 1 021 1x xx xxx xx x?????????或或法二:原不等式可化为:3(2 3)(1)0 12x x x?.(2)∵2 21 31()02 4x x x??原不等式可化为:3 0 3x x?

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