第一章：有理数
一、有理数的基础知识
1、三个重要的定义
（1）正数：像1、2.5、这样大于0的数叫做正数；
（2）负数：在正数前面加上“－”号，表示比0小的数叫做负数；
（3）0即不是正数也不是负数，0是一个具有特殊意义的数字，0是正数和负数的分界，不是表示不存在或无实际意义。
概念剖析：
①判断一个数是否是正数或负数，不能用数的前面加不加“+”“－”去判断，要严格按照“大于0
的数叫做正数；小于0的数叫做负数”去识别。
②正数和负数的应用：正数和负数通常表示具有相反意义的量。
③所有正整数组成正整数集合；所有负整数组成负整数集合；正整数、0、负整数统称为整数，正整数、0、负整数组成整数集合；
④常常有温差、时差、高度差(海拔差)等等差之说，其算法为高温减低温等等；
例1 下列说法正确的是( )
A、一个数前面有“－”号，这个数就是负数； B、非负数就是正数；
C、一个数前面没有“－”号，这个数就是正数； D、0既不是正数也不是负数；
例3 如果向南走50米记为是-50米，那么向北走728米记为是 ____________, 0米的意义是______________。
例4 对某种盒装牛奶进行质量检测，一盒装牛奶超出标准质量2克，记作+2克，那么-5
克表示_________________________
知识窗口：正数和负数通常表示具有相反意义的量，一个记为正数，另一个就记为负数，我们习惯上把向东、向北、上升、盈利、运进、增加、收入、高于海平面等等规定为正，把相反意义的量规定为负。
2、有理数的概念及分类
整数和分数统称为有理数。
有理数的分类如下：
概念剖析：
①整数和分数统称为有理数，也就是说如果一个数是有理数，则它就一定可以化成整数或分数；
②正有理数和0又称为非负有理数，负有理数和0又称为非正有理数；
③整数和分数都可以化成小数部分为0或小数部分不为0的小数，但并不是所有小数都是有理数，只有有限小数和无限循环小数是有理数；
3、数轴
标有原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。
数轴有三要素：原点、正方向、单位长度。
画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。
在数轴上所表示的数，右边的数总比左边的数大，即从数轴的左边到右边所对应的数逐渐变大，所以正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。
概念剖析：
①画数轴时数轴的三要素原点、正方向、单位长度缺一不可；
②数轴的方向不一定都是水平向右的，数轴的方向可以是任意的方向；
③数轴上的单位长度没有明确的长度，但单位长度与单位长度要保持相等；
④有理数在数轴上都能找到点与之对应，一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。
⑤在数轴上求任意两点a、b的距离L,则有公式L=|a-b|或L=|b-a|。
例8在数轴上表示数3的点到表示数的点之间的距离是10，则数a=；若在数轴上表示3的点到表示数a的点之间的距离是b，则数a=。
4、相反数
如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数。
0的相反数是0，互为相反的两个数，在数轴上位于原点的两则，并且与原点的距离相等。
概念剖析：
①“如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数”，不要茫然的认为“如果两个数符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数”。
②很显然，数a的相反数是-a，即a与-a互为相反数。要把它与倒数区分开。
③互为相反数的两个数在数轴上对应的点一个在原点的左边，一个在原点的右边，且离原点的距离相等，也就是说它们关于原点对称。
④在数轴上离某点的距离等于a的点有两个。
⑤如果数a和数b互为相反数，则a+b=0；a/b=-1(ab≠0)或b/a=-1(ab≠0)；
⑥求一个数的相反数，只要在这个数的前面加上“—”即可；
例如a-b的相反数是b-a；
例11 下列说法正确的是（ ）
A、若两个数互为相反数，则这两个数一定是一个正数，一个负数；
B、如果两个数互为相反数，则它们的商为-1；
C、如果a+b=0，则数和数互为相反数；
D、互为相反数的两个数一定不相等；
知识窗口：①一个数前面加上“—”号，该数就成了它的相反数；
②一个数前面的符号确定方法：奇数个负号相当于一个负号，偶数个负号相当于一个正号，而与正号的个数无关。
5、绝对值
数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。
（1）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离。
（2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数，可用字母a表示如下：
（3）两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
概念剖析：
①“一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离”，而距离是非负，也就是说任何一个数的绝对值都是非负数，即|a|≥0.
②互为相反数的两个数离原点的距离相等，也就是说互为相反数的两个数绝对值相等。
例14 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数是( )
A、互为相反数 B、相等 C、积为0 D、互为相反数或相等
二、有理数的运算
1、有理数的加法
（1）有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。
知识窗口：用加法的运算律进行简便运算的基本思路是：先把互为相反数的数相加；把同分母的分数先相加；把符号相同的数先相加；把相加得整数的数先相加。
2、有理数的减法
（1）有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
（2）有理数减法常见的错误：顾此失彼，没有顾到结果的符号；仍用小学计算的习惯，不把减法变加法；只改变运算符号，不改变减数的符号，没有把减数变成相反数。
（3）有理数加减混合运算步骤：先把减法变成加法，再按有理数加法法则进行运算；
概念剖析：减法是加法的逆运算，用法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”即可转化。
转化后它满足加法法则和运算律。
概念剖析：
①“两个有理数相乘，同号得正，异号得负”不要误认为成“同号得正，异号得负”
②多个有理数相乘时，积的符号确定规律：多个有理数相乘，若有一个因数为0，则积为0；几个
都不为0的因数相乘，积的符号由负因数的个数来决定，当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正。
③有理数乘法的计算步骤：先确定积的符号，再求各因数绝对值的积。
4、有理数的除法
有理数的除法法则：除以一个数，等于乘上这个数的倒数，0不能做除数。这个法则可以把除法转化为乘法；除法法则也可以看成是：两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数都等于0。
知识窗口：所有的奇数可以表示为2n+1或2n-1；所有的偶数可以表示为2n。
6、有理数的混合运算
（1）进行有理数混合运算的关建是熟练掌握加、减、乘、除、乘方的运算法则、运算律及运算顺序。比较复杂的混合运算，一般可先根据题中的加减运算，把算式分成几段，计算时，先从每段的乘方开始，按顺序运算，有括号先算括号里的，同时要注意灵活运用运算律简化运算。
（2）进行有理数的混合运算时，应注意：一是要注意运算顺序，先算高一级的运算，再算低一级的运算；二是要注意观察，灵活运用运算律进行简便运算，以提高运算速度及运算能力。
知识窗口：有理数混合运算的关键时把握好运算顺序，即先乘方、再乘除、最后加减；有括号的先算括号；若是同级运算，应按照从左到右的顺序进行。
练习：
一、选择题：
1、下列说法正确的是（ ）
A、非负有理数即是正有理数 B、0表示不存在，无实际意义
C、正整数和负整数统称为整数 D、整数和分数统称为有理数
2、下列说法正确的是（ ）
A、互为相反数的两个数一定不相等 B、互为倒数的两个数一定不相等
C、互为相反数的两个数的绝对值相等 D、互为倒数的两个数的绝对值相等
3、绝对值最小的数是（ ）
A、1 B、0 C、– 1 D、不存在
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