最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题。它主要考察学生对平时所学的内容的综合运用，尤其动点几何最值问题是中考热点压轴问题。几何动点最值类题型之所以能成为中考数学压轴题的常考题型，除了题型复杂、知识点多外，更主要是能很好考查一个人运用数学思想方法的能力，如常用的数学思想方法有方程思想、数学建模思想、函数思想、转化思想、分类讨论法、数形结合法等等。几何动点问题主要是以几何知识为载体，突出了对几何基本图形掌握情况的考查、数学逻辑思维能力和数学表达能力的考查。题型上变化多端，如常常以数与形、代数计算与几何证明、相似三角形的判定与性质、画图分析与列方程求解、勾股定理与函数、圆和三角相结合的综合性试题。
基本模型阐述：
所有问题的理论依据只有两个：①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。
由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。
上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式。举例说明如下：
类型一 与三角形有关的动点最值问题
1.如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN的周长最小值为_____ 。
解析：动线段（或定点）应居于动点轨迹的两侧，本题的三条动线段PM、MN、PN在OA、OB的内侧。所以本题的关键是把定线段变换到动点轨迹的两侧，从而把三条动线段PM、MN、PN转化为连接两点之间的路径。如图，把点P分别沿OA、OB翻折得P1、P2，△PMN的周长转化为P1M+MN+P2N，这三条线段的和正是连接两个定点P1、P2之间的路径，从而转化为求P1、P2两点之间最短路径，得△PMN的周长最小值为线段P1P2＝OP＝6。
2.如图，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是______ 。
解析：本题的问题也在于动线段BM、MN居于动点轨迹AD的同侧，同样把点N沿AD翻折至AC上，BM+MN＝BM+MN'，转化为求点B到直线AC的最短路径，即BN'⊥AC时，最小值为2√2。
3.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，D为AB中点，E、F是边AC、BC上的动点，E从A出发向C运动，同时F以相同的速度从C出发向B运动，F运动到B停止，当AE为______时，△ECF的面积最大．
解析：根据题意可以表示出△ECF的面积，然后根据二次函数的性质即可解答本题．设点E运动的距离为a，则点F运动的距离也为a，
∴当a＝4时，△ECF的面积最大，故答案为：4．
【方法指导】线段的最值问题常见模型：
求线段最短：①根据直线外一点到直线的所有线段中垂线段最短求解，通过构造直角三角形用勾股定理计算②由动点引起的动直线问题，用动点横坐标列距离的关系式，根据函数的增减性求最小值
类型二 与四边形有关的动点最值问题
4.如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则线段A′C长度的最小值是__________.
分析：第一步：分析题意可得，在点N的运动过程中，点A′在以M为圆心，AD的长为直径的圆上的弧上运动；
第二步：当A′C取得最小值时，由两点之间线段最短知，此时M，A′，C三点共线，得出点A′的位置；
第三步：利用锐角三角函数及勾股定理等知识即可求得A′C的长
【解答】∵MA′是定值，∴当A′C长度取最小值，
即点A′在MC上时，如答图，过点M作MF⊥CD交CD的延长线于点F.
∵在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M为AD中点，
∴MD＝2，∠FDM＝60°，
∴∠FMD＝30°，∴FD＝1/2MD＝1，∴FM＝DM·cos30°＝√3，
5.在正方形ABCD中，点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，若AD＝4，试求出线段CP的最小值．
【分析】由题意易证△ADE≌△DCF，从而得到AE＝DF，∠DAE＝∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；由于点P在运动中保持∠APD＝90°，所以点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，再由勾股定理可得QC的长，再求CP即可．
【解答】∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC＝4，∠ADC＝∠C＝90°．
在△ADE和△DCF中，AD=DC, ∠ADC＝∠C,DE=CF，
∴△ADE≌△DCF（SAS）．∴AE＝DF，∠DAE＝∠CDF，
由于∠CDF+∠ADF＝90°，∴∠DAE+∠ADF＝90°．∴AE⊥DF；
由于点P在运动中保持∠APD＝90°，∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，
设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，
类型三 与圆有关的最值问题
圆的动点最值问题上述基本图形模式不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。
6.在⊙O中，圆的半径为6，∠B=30°，AC是⊙O的切线，则CD的最小值是 _______ 。
解析：由∠B=30°知弧AD一定，所以D是定点，C是直线AC上的动点，即为求定点D到定线AC的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为3。
7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是____ 。
解析：A是定点，B'是动点，但题中未明确告知B'点的运动路径，所以需先确定B'点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。此题中B'的路径是以C为圆心，BC为半径的圆弧，从而转化为定点到定圆的最短路径为AC-B'C=1。
8.如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB＝5 cm，AC＝4 cm，点D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，连接BE.在点D移动的过程中，BE的最小值为_________.
分析：第一步：连接O′E，要求BE的最小值，分析题意可知，当O′，E，B三点共线时，BE的值最小，最小值为O′B－O′E；第二步：连接BO′，BC，在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，利用勾股定理求出BO′即可求解．
【解答】如答图，取AC的中点O′，连接BO′，O′E，BC．
∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，
∴在点D移动过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，∴O′E＝1/2AC＝2.
∵AB是半⊙O直径，∴∠ACB＝90°.
在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝5，
∵O′E＋BE≥O′B，∴当O′，E，B三点共线时，BE的值最小，最小值为O′B－O′E＝√13－2.
归纳总结：求解动点几何最值问题用到比较高的重要几何结论及方法：如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边只差小于第三边、垂线段最短等，利用一次函数和二次函数性质求最值。浓缩概括如下：
1.路径成最短，折线到直线。（所求路径在一般情况下是若干折线的组合，这些折线在同一直线上时即为最短路径）
2.基本图形：动点有轨迹，动线居两边。（动点轨迹可以是线或圆，动线指动点与定点或定线、定圆的连线，动线与折线同指）
3.核心方法：同侧变异侧，分散化连续。
（动线在同侧进，要变为异侧，一般用翻折、三角、相似的方法构造；动折线被定长线段分散时需化为连续折线，一般用平移的方法构造，如造桥选址问题）
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