2010年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)
1. 若均为整数且满足,则 ( B )
A. B.C.D.满足等式,则可能取的最大值为 ( C )
A. B.C.D.是两个正数,且 则 ( C )
A. B.C.D.的两根也是方程的根,则的值为 ( A )
A. B.C.D.中,已知,D,E分别是边AB,AC上的点,且,则 ( B )
A. B.C.D.,将其各位数字之和记为,如,则 ( D )
A. B.C.D.满足方程组则 13 .
2.二次函数的图象与轴正方向交于A,B两点,与轴正方向交于点C.已知,则 .
3.在等腰直角△ABC中AB=BC=5,P是△ABC内一点,且PA=,PC=5,则PB=______.
4.将红、黑两种颜色的球摆两种球都要出现,且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球按摆放()为三角形的三边长,满足,求符合条件且周长不超过30的三角形的个数。
解 由已知等式可得
①
令,则,其中均为自然数。
于是,等式①变为,即
②
由于均为自然数,判断易知,使得等式②成立的只有两组:和
(1)当时。又为三角形的三边长,所以,即,解得。又因为三角形的周长不超过30,即,解得。因此,所以可以取值4,5,6,7,8,对应可得到5个符合条件的三角形。
(2)当时。又为三角形的三边长,所以,即,解得。又因为三角形的周长不超过30,即,解得。因此,所以可以取值2,3,4,5,6,7,对应可得到6个符合条件的三角形。
综合可知:符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5+6=11.
二.(本题满分25分)已知等腰三角形△ABC中AB=AC,∠C的平分线与AB边交于点P,M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点,作MD//AC,交⊙I于点D.证明:PD是⊙I的切线。
证明 过点P作⊙I的切线PQ(切点为Q)并延长,交BC于点N.
因为CP为∠ACB的平分线,所以∠ACP=∠BCP.
又因为PA、PQ均为⊙I的切线,所以∠APC=∠NPC.
又CP公共,所以△ACP≌△NCP,所以∠PAC=∠PNC.
由NM=QN,BA=BC,所以△QNM∽△BAC,故∠NMQ=∠ACB,所以MQ//AC.
又因为MD//AC,所以MD和MQ为同一条直线。
又点Q、D均在⊙I上,所以点Q和点D重合,故PD是⊙I的切线。
三.(本题满分25分)已知二次函数的图象经过两点P,Q.
(1)如果都是整数,且,求的值。
(2)设二次函数的图象与轴的交点为A、B,与轴的交点为C.如果关于的方程的两个根都是整数,求△ABC的面积。
解 点P、Q在二次函数的图象上,故,
解得。
(1)由知解得。
又为整数,所以。
(2) 设是方程的两个整数根,且。
由根与系数的关系可得,消去,得,
两边同时乘以9,得,分解因式,得。
所以或或或
解得或或或
又是整数,所以后面三组解舍去,故。
因此,二次函数的解析式为。
易求得点A、B的坐标为(1,0)和(2,0),点C的坐标为(0,2),所以△ABC的面积为。
第二试 (B)
一.(本题满分20分)设整数为三角形的三边长,满足,求符合条件且周长不超过30的三角形的个数(全等的三角形只计算1次)。
解 不妨设,由已知等式可得
①
令,则,其中均为自然数。
于是,等式①变为,即
②
由于均为自然数,判断易知,使得等式②成立的只有两组:和
(1)当时。又为三角形的三边长,所以,即,解得。又因为三角形的周长不超过30,即,解得。因此,所以可以取值4,5,6,7,8,对应可得到5个符合条件的三角形。
(2)当时。又为三角形的三边长,所以,即,解得。又因为三角形的周长不超过3