【专题一】数形结合思想
【考情分析
数形结合思想解决的问题常有以下几种：
(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；
(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；
(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；
(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；
(5)构建立体几何模型研究代数问题；
(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；
(7)构建方程模型，求根的个数；
(8)研究图形的形状、位置关系、性质等．
常见适用数形结合的两个着力点是：
以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法.
以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合。
数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域；(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解．这种思想方法体现在解题中，就是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决1．数形结合的途径
1）通过坐标系形题数解
这一方法在解析几何中体现的相当充分（在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考察的）；值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧（这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理）。
常见方法有：
①解析法：建立适当的坐标系（直角坐标系，极坐标系），引进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系。
②三角法：将几何问题与三角形沟通，运用三角代数知识获得探求结合的途径。
③向量法：将几何图形向量化，运用向量运算解决几何中的平角、垂直、夹角、距离等问题。把抽象的几何推理化为代数运算。特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循。
（2）通过转化构造数题形解.例如，将a＞0与距离互化，将a2与面积互化，将a2+b2+ab=a2+b2－2与余弦定理沟通，将a≥b≥c＞0且b+c＞a中的a、b、c与三角形的三边沟通，将有序实数对（或复数）和点沟通，将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形（平面的或立体的）另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常借助于相伴而充分地发挥作用的性质来寻求代数式性质。
（3）构造几何模型。通过代数式的结构分析，构造出符合代数式的几何图形，如将与正方形的面积互化，将与体积互化，将与勾股定理沟通等等。
（4）利用解析几何中的曲线与方程的关系，重要的公式（如两点间的距离，点到直线的距离，直线的斜率，直线的截距）、定义等来寻求代数式的图形背景及有关性质。
2．数形结合的原则
1）等价性原则
在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞.有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导2）双向性原则在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析（或仅对几何问题进行代数分析）在许多时候是很难行得通的例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化3）简单性原则就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于那种方法更为简单.而不是去刻意追求一种流性的模式——代数问题运用几何方法，几何问题寻找代数方法-2x-3≤0},则A∩（CRB）=（）
A．．．．-2x-3≤0}=，A∩（CRB）={x|1＜x＜4}=。故选B.
点评：不等式型集合的交、并集通常可以利用数轴进行，解题时注意验证区间端点是否符合题意。
（2）（2011湖南文1）设全集则（）
A．B．Ｃ．Ｄ．B；解析：画出韦恩图，可知。
点评：本题主要利用数轴、韦恩图考查集合的概念和集合的关系。
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