【题12】某地为促进淡水鱼养殖业的发展,将价格控制在适当范围内,决定对淡水鱼养殖提供政府补贴,设淡水鱼的市场价格为x元/千克,政府补贴为t元/千克。根据市场调查,当8≤x≤14时,淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似满足关系:
P=1000(x+t-8)(x≥8,t≥0)
Q=500(8≤x≤14)
当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格。
将市场平衡价格表示为政府补贴的函数,并求出函数的定义域
为使市场平衡价格不高于每10元/千克,政府至少补贴多少?
分析:本题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力,以及函数的概念、方程和不等式的解法等基础知识和方法。
解(1)依题设有
1000(x+t-8)=500
化简得5x+(8t-80)x+(4t-64t+280)=0
当△=800-16t≥0时
可得x=8-t±
由△≥0,t≥0,8≤x≤14得不等式组
0≤t≤
8≤8-t+≤14
解①得0≤t≤
故所求的函数的关系为x=8-t+
函数的定义域为[0,]
(2)为使x≤10,应有
8-t+≤10
化简得:t+4t-5≥0
解得t≥1或t≤-5,由于t≥0知t≥1从而政府补贴至少为1元/千克。
评注:本题反映了当前的经济生活,要求学生运用自己的数学家知识解决社会实际问题,把生活问题转化为数学问题,最后化归为方程和不等式的问题来处理。
【题13】设{a}是首项为1的正项数列,且(n+1)a-na+aa=0(n=1,2,3,…),则它的通项公式是a=____________
解:由(n+1)a-na+aa=0得
(aa)[(n+1)a-n a]=0(怎样得到的?)
又∵a,a>0
∴(n+1)a-n a=0,即=
∴=
=
……
=
∵=
∵a=1,∴a=,应填
评注:本题是累商法求数列通项公式的,如果从特殊情形入手,还可猜测通项公式,作为填空题,也不失为一种好方法
【题14】设{a}是由正数组成的等比数列,公比q=2,且a·a·a……a=2,那么a·a·a……·a等于()
A.2 B。2 C。2 D。2
解法1由a·a·a……a=2,得
a·(aq)·(aq)…·(aq)=aq
=aq=2
∴aq=2(∵a>0)
∴a·a·a……·a=(aq)·(aq)……(aq)
=a·q=a·q
=(aq)=(aq·q)
=(2·2)=20,故选B
解法2设a=a·a·a……a
则aq=a·a·a……a
aq=a·a·a……a(为什么?)
∴a·aq·aq=aq=2,而q=2,a>0
∴a=1,a=1,aq=q=2,应选B
评注:本题主要考查等比数列通项公式等基础知识,同时考查运算能力和整体思想。
【题15】已知a,a,…,a为各项都大于零的等比数列,公比q≠1,则()
a+a>a+a
a+a<a+a
a+a=a+a
a+a与a+a的大小关系不能由已知条件确定
解:∵(a+a)-(a+a)=a(1+q)-a(q+q)
=a(1+q-q-q)
=a(1-q)(1-q)
又a>0,∴q>0,q≠1
∴当q>1时,q>1,q>1,1-q<0,1-q<0
当0<q<1时,0<q<1,0<q<1,1-q>0,1-q>0
总有a(1-q)(1-q)>0
∴a+a>a+a应选A
评注:本题主要考查等比数列的通项公式及求差法比较大小。错选C的较多,主要认为1+8=4+5,∴a+a=a+a,这显然是“思维定势”的影响,错把等差数列的性质移到了等比数列中。
【题16】设S是等差数列{a}前n项的和,已知S与S的等比中项为S,S与S的等差中项为1,求等差数列{a}的通项a
解:设等差数列{a}的首项a=a,公差为d,则通项为a=a+(n-1)d
前n项和S=na+d
S·S=(S)
依题意有其中S≠0
S·S=2
(3a+3d)·(4a+6d)=(5a+10d)
由此可得
(3a+3d)+(4a+6d)=2
3ad+5d=0 a=1 a=4
整理得解得或
2a+d=2 d=0 d=-
∴a=1或a=4-(n-1)=-n
经验证知a=1时,S=5或a=-n时,S=-4,均适合题意
故所求等差数列的通项为a=1,或a=-n
评注:本题主要考查等差数列,等比数列,方程组等基础知识,考查运算能力
等比数列中的任何一项都不能为零,本题中须注明S≠0,否则扣1分(当年评分标准规定)
【题17】设数列{a}的首项a=1,前n项和S满足关系式:
3tS-(2t+3)S=3t(t>0.m=2,3,4,…)
求证:数列{a}是等比数列
设数列{a}的公比为f(t),数列{b},使b=1,b=f()(n=2,3,4,…),求b
求和:bb-bb+bb-…+bbb
解(1)由S=a=1,S=a+a=1+a得
3t(1+a)-(2t+3)=3t
∴a=
又3tS-(2t+3)S=3t
3tS-(2t+3)S=3t(n=3,4,…)
两式两边分别相减得
3ta-(2t+3)a=0,又t>0
于是=,n=3,4,…
因此{a}是一首项为1,公比为的等比数列。
(2)由f(t)==+,b=f(),n=2,3,4,…
∴b=+b,可见{b}是一个首项为1,公差为的等差数列。
∴b=1+(n-1)=
(3)解法1由b=,可知{b}和{b}是首项分别为1和,公差均为的等差数列,并且b=
∴bb-bb+bb-bb+…+bbb
=b(b-b)+b(b-b)+…+b(b-b)
=-(b+b+…+b)
=-·
=-(2n+3n)
解法2∵bb-bb=b(b-b)
=(2m+1)
∴bb-bb+bb-bb+…+bbb
=(bb-bb)+(bb-bb)+…+(bb-bb)
=-[(2×2+1)+(2×4+1)+…+(2·2+)]
=-[2×(2+4+…+2n)+n]
=-(2n+3n)
评注:本题考查等差数列,等比数列的概念和求和公式,以及考查逻辑推理能力与分析问题,解决问题的能力。
【题18】设{a}为等差数列,S为数列{a}的前n项和,已知S,S=75,T为数列{}的前n项和。求T
解:设等差数列{a}的公差为d,则
S=na+n(n-1)d
∵S=7,S=75
7a+21d=7
15a+105d=75
a+3d=1
即解得a=-2,d=1
a+7d=5
∴=a+(n-1)d=-2+(n-1)
∴-=
∴数列{}是等差数列,其首项为-2,公差为
∴T=-n
评注:本小题主要考查等差数列的基础知识
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