教师辅导讲义授课类型C(椭圆定义及性质)T(直线与椭圆)
教学内容一、知识回顾
1.问题:(1)椭圆的中心是什么?椭圆的长轴短轴是什么?长半轴短半轴又是什么?(2)通过椭圆的图像,分析一下椭圆的对称性。(3)椭圆方程中x、y的取值范围是什么?
2.椭圆的图形与性质标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上1 2 22 2b ya x1 2 22 2b xa y图形焦点焦距c2c2范围顶点对称性关于x轴与y轴成轴对称,关于原点成中心对称两轴长轴长为a2,短轴长为b2 O·F 1x O yF 2·x O yF 1F 2··
3.点与椭圆的位置关系:设点0 0 P x y,,椭圆方程为2 2 2 2 1 x y a b??,则:1 2 2 2 0 0 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 P PF PF a x y P PF PF a a b P PF PF a???在椭圆外在椭圆上在椭圆内(其中21FF、为椭圆焦点).
4.直线与椭圆的位置关系.直线与椭圆的位置关系有相交、相切、相离,判断直线与椭圆的位置关系,可以利用直线方程与椭圆方程联立,看联立后方程解的个数:(1)0,无解则相离;(2)0,一解则相切;(3)0,两解则相交。直线与椭圆相交就有直线与椭圆相交弦问题,直线与椭圆的两交点之间的线段叫做直线与椭圆相交弦。利用直线与椭圆相交的弦长公式:21 21xxk AB?.
二、典例分析题
型一、求椭圆方程
Ⅰ、根据定义求解【例1】已知椭圆上的点)3,2(?P到两个焦点的距离之和为8,求椭圆的标准方程。
【例2】根据下列条件求椭圆的标准方程(中心在原点,焦点在坐标轴上):(1)过一个焦点)0,4(1?F的弦AB与另一焦点2F所构成的△2 ABF的周长为20;(2)长轴长是短轴长的3倍,并且经过点)0,3(?;(3)焦点1F、2F在x轴上,)4,3(P为椭圆上一点,且21 PF PF?;(4)经过点)2,2(?,?2 14,1.
【变式训练】1、已知椭圆的两焦点为F 1(0,1),F 2(0,-1),P是椭圆上任一点,FF 12是PF 1与PF 2的等差中项,则椭圆的方程为_______________。
2、已知△ABC的周长为20,且6||?BC,求点A的轨迹方程.3、△ABC中,6||?BC,且ACB sin 2 3 sin sin,求点A的轨迹方程.
【例3】已知动圆M与定圆1O:1)1(22?yx外切,与圆2O:9)1(22?yx内切,求动圆圆心M所在的曲线方程.【变式训练】求经过点)0,2(A,且与圆36)2(22?yx内切的动圆圆心M的轨迹方程.
Ⅱ、根据椭圆性质求解方程【例1】已知椭圆的长轴长为16,焦点在y轴上,短轴长与焦距相等,则椭圆的标准方程为__________________.
【变式训练】1、已知椭圆C以椭圆1916 22 yx的顶点为焦点,焦点为顶点,求椭圆C的方程.
2、长、短轴都在坐标轴上,直线2x-y=6经过两顶点的椭圆方程是___________________。
3、椭圆中心在原点,焦点在坐标轴上,短轴的一个端点与两焦点构成等边三角形,且焦点到椭圆的最短距离为3,求椭圆的方程.
题型二、根据椭圆定义求参数(范围):【例1】方程132 22 2?ymm x表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是_______________.
【变式训练】1、方程xk 27?+yk 25?=1表示长轴在y轴上的椭圆,则k的取值范围是________。
2、已知椭圆12 10 22m ym x的长轴在y轴上,焦距为4,则m等于()A.4 B.5 C.7 D.8【例2】椭圆55 22 kyx的一个焦点是)2,0(,则?k ___________.
【变式训练】椭圆1925 22 yx上的点到左焦点的最大距离是____________,最小距离是__________.
题型三、焦点弦【例1】1)设点A(-2,3)、B(2,0),点M在椭圆112 16 22 yx上运动,当|MA|+|MB|最大时,点M的坐标为_ _。2)P为椭圆143 22 yx上任一点,1F、2F为其两焦点,则21 PF F?的最大值是()A.4 3 tan 2 atc B.4 1 arcsin 2 C.3?D.3 2?
【例2】设椭圆145 22 yx的两个焦点分别为F 1和F 2,短轴的一个端点为B,则△BF 1F 2的周长是____。
【变式训练】1、已知椭圆1916 22 yx,1F、2F分别为左、右焦点,CD为过1F的弦,且与x轴的夹角为?60,则△CD F 2的周长为_______________.
【例3】已知椭圆2 2 2 2 1 0 x y a b a b??,P为椭圆上任一点,1 2 FPF?,求1 FPF?的面积。
【变式训练】1、已知椭圆1 2 22 2b ya x(0ba)上一点P满足?21 PF F(1F、2F于椭圆的两个焦点),求△21 PF F的面积S.
2、已知椭圆116 25 22 yx与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B,左焦点为F,则△ABF的面积是___
3、点P是椭圆9 25 22yx?=1上一点,F 1、F 2是焦点,?F 1 PF 2=60 0,则ΔPF 1F 2的面积是__ __。
4、M是椭圆149 22 yx上的一点,F 1、F 2是椭圆的焦点,且∠F 1 MF 2=90°,则△F 1 MF 2的面积等于_____________.
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