一、奇数、偶数、质数、合数
整数的奇偶性
(1)奇、偶数具有如下性质:奇数±奇数=偶数;偶数±偶数=偶数;奇数±偶数=奇数;偶数×偶数=偶数;奇数×偶数=偶数;奇数×奇数=奇数;
(2)奇数的平方都可表为形式,偶数的平方都可表为或的形式().
(3)任何一个正整数,都可以写成的形式,其中为非负整数,为奇数.
质数与合数、算术基本定理
定理:任何大于1的整数都可以分解成质数的乘积,若不计这些质数的次序,则这种质因子分解表示式是惟一的,进而可以写成标准分解式:(*).其中为质数,为非负整数,.
注:1:(合数的因子个数计算公式)若为标准分解式,则的所有因子(包括1和A本身)的个数等于
推论2:(互质元素个数的计算公式)若为标准分解式,则在1到中与的互质的元素的个数等于。
二、整除
1.整数的整除性
定义一:(带余除法)对于任一整数和任一整数,必有惟一的一对整数,使得,,并且整数和由上述条件惟一确定,称为除的余数.若,则称整除,或被整除,或称的倍数,或称的约数(又叫因子),记为.否则,|.
由整除的定义,不难得出整除的如下性质:
(1)若(2)若
(3)若,则反之,亦成立.(4)若.因此,若.
(5)、互质,若
(6)为质数,若则必能整除中的某一个.特别地,若为质数,
(7)如在等式中除开某一项外,其余各项都是的倍数,则这一项也是的倍数.
(8)n个连续整数中有且只有一个是n的倍数.
(9)任何n个连续整数之积一定是n的倍数.
定理一:设大于1的整数的标准分解式为为质数,均为非负整数),则a的约数的个数为.所有的约数和为:.
2.最大公约数和最小公倍数
定义二:设、是两个不全为0的整数.若整数c满足:,则称的公约数,的所有公约数中的最大者称为的最大公约数,记为.如果=1,则称互质或互素.
定义三:如果、的倍数,则称、的公倍数.的公倍数中最小的正数称为的最小公倍数,记为.
最大公约数和最小公倍数的概念可以推广到有限多个整数的情形,并用表示的最大公约数,表示的最小公倍数.
若,则称互质,若中任何两个都互质,则称它们是两两互质的.注意,n个整数互质与n个整数两两互质是不同的概念,前者成立时后者不一定成立(例如,3,15,8互质,但不两两互质);显然后者成立时,前者必成立.
因为任何正数都不是0的倍数,所以在讨论最小公倍数时,一般都假定这些整数不为0.同时,由于有相同的公约数,且(有限多个亦成立),因此,我们总限于在自然数集合内来讨论数的最大公约数和最小公倍数.
显然,若的标准分解式为为质数,为非负整数),则,
求最大公约数也可以用辗转相除法,其理论依据是:
定理二:设a、b、c是三个不全为0的整数,且有整数t使得,则a、b与b、c
有相同的公约数,因而,即
由定义和上述求法不难得出最大公约数和最小公倍数的如下性质:
(1).
(2)设的公约数,则特别地,若.
(3)设是任意n个正整数,如果,则.
(4)若,则一定有整数,使得.
(5)若.
(6)
①;
②的任一公倍数,则;
③,特别地,若.
①可由③直接得到,②可由最小公倍数定义得,③根据①、②式知,
.
(7)设是任意个正整数.若mn,则.这是一个求多个整数的最小公倍数的方法.它可用证明③类似的方法来证明.
3.方幂问题
一个正整数能否表成个整数的次方和的问题称为方幂和问题.特别地,当时称为次方问题,当时,称为平方和问题.
能表为某整数的平方的数称为完全平方数.简称平方数,关于平方数,明显有如下一些简单的性质和结论:
(1)平方数的个位数字只可能是0,1,4,5,6,9.
(2)偶数的平方数是4的倍数,奇数的平方数被8除余1,即任何平方数被4除的余数只能是0或1.
(3)奇数平方的十位数字是偶数.
注:主要看,因此看1,3,5,7,9即可
(4)十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6.
注:主要看,,再结合一个数的平方的尾数只能是,所以个位数位6
(5)不能被3整除的数的平方被3除余1,能被3整除的数的平方能被3整除.因而,平方数被9除的余数为0,1,4,7,且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能为0,1,4,7.
(6)平方数的约数的个数为奇数.
(7)任何四个连续整数的乘积加1,必定是一个平方数.
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